Question

19．已知多面体ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，AA₁⊥平面ABC，四边形A₁ACC₁为直角梯形，CC₁与平面ABC所成的角为$\frac{π}{4}$，AA₁=1
（1）若P为AB的中点，求证：A₁P∥平面BC₁C；
（2）求二面角A₁-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出平面A₁ACC₁⊥平面ABC，过C₁作C₁D⊥AC于D，则C₁D⊥平面ABC，∠C₁CD是CC₁与平面ABC所成角，取BC中点F，推导出四边形A₁C₁PF为平行四边形，从而A₁P∥C₁F，由此能证明A₁P∥平面BC₁C．
（Ⅱ）连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面A₁ACC₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
过C₁作C₁D⊥AC于D，∵平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，∴C₁D⊥平面ABC，
∴CD是CC₁在平面ABC内的射影，
∴∠C₁CD是CC₁与平面ABC所成角，∴$∠{C}_{1}CD=\frac{π}{4}$，
∴CD=C₁D=AD=A₁C₁=1，
取BC中点F，连结PF，由题意得PF∥AC，且PF=$\frac{1}{2}$AC，
又A₁C₁∥AC，A₁C₁=$\frac{1}{2}AC$，∴A₁C₁∥PF，且A₁C₁=PF，
∴四边形A₁C₁PF为平行四边形，∴A₁P∥C₁F，
∵C₁F?平面BC₁C，A₁P?平面BC₁C，
∴A₁P∥平面BC₁C．
解：（Ⅱ）连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，-1，1），B（$\sqrt{3}，0，0$），C₁（0，0，1），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），
设平面A₁BC₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=\sqrt{3}x+y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}，0，1$），
设平面BC₁C的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\sqrt{3}a+c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+3}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
根据图形得二面角A₁-BC₁-C的产面角为钝角，
∴二面角A₁-BC₁-C的余弦值为-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．