Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax-1，（a为实数），g（x）=lnx-x
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）的极值；
（3）求证：lnx＜x＜e^x（x＞0）

Answer 1

分析 （1）求导数得到f′（x）=e^x-a，然后讨论a的符号，从而可判断导数符号，这样即可求出每种情况下函数f（x）的单调区间；
（2）可先求出函数g（x）的定义域，然后求导，判断导数的符号，从而根据极值的概念求出函数g（x）的极值；
（3）可知a=1时，f（x）在x=0处取得极小值，从而可得出e^x＞x+1，而由（2）可知g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值-1，这样即可得出lnx≤x-1＜x，这样便可得出要证的结论．

解答 解：（1）由题意得f′（x）=e^x-a
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，
故函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减；
（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1$，
由g′（x）＞0可得0＜x＜1；由g′（x）＜0，可得x＞1．
所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故函数g（x）在x=1取得极大值，其极大值为ln1-1=-1．
（3）证明：当a=1时，f（x）=e^x-x-1，
由（1）知，f（x）=e^x-x-1在x=ln1=0处取得极小值，也是最小值，
且f（x）_min=0，故e^x-x-1＞0（x＞0），得到e^x＞x+1（x＞0）．
由（2）知，g（x）=lnx-x在x=l处取得最大值，且g（x）_max=-1，
故lnx-x≤-1（x＞0），得到lnx≤x-1＜x（x＞0）．
综上lnx＜x＜e^x（x＞0）．

点评 本题考查根据导数符号求函数单调区间的方法，以及函数极值和最值的概念，以及根据导数求函数极值、最值的方法和过程，以及利用前面结论解决问题的方法．