Question

（文）方程lgx²=4-（|x|-200）（|x|-202）的解的个数为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题即求 函数y=4-lgx² 与 y=（|x|-200）（|x|-202）的交点的个数．由于这两个函数都是偶函数，图象关于y轴对称，只要求出当x＞0时的交点个数，再乘以2即得所求．结合图象可得结论．

解答： 解：方程lgx²=4-（|x|-200）（|x|-202）的解的个数
即 函数y=4-lgx² 与 y=（|x|-200）（|x|-202）的交点的个数．
由于这两个函数都是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只要求出当x＞0时的交点个数，再乘以2即得所求．
当x＞0时，这两个函数的解析式即y₁=4-2lgx，
y₂=（x-200）（x-202），
=（x-201）²-1，
如图示：


故当x＞0时，这两个函数的解析式即y=4-2lgx 与y=（x-200）（x-202）有3个交点，
（注意二次函数的图象可与y轴相交，而y=4-2lgx 的图象不与y轴相交），
故方程lgx²=4-（|x|-200）（|x|-202）的解的个数为6，
故选 C．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性的应用，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题