Question

18．数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1，b_n=$\frac{1}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$，则数列{b_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．

Answer 1

分析 运用等差数列的求和公式，可得a₁+a₂+…+a_n，再将b_n写成$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用裂项相消求和，即可得到结论．

解答 解：由a_n=2n+1，可得
a₁+a₂+…+a_n=$\frac{1}{2}$n（3+2n+1）=n（n+2），
则b_n=$\frac{1}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$
=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有数列{b_n}的前n项和为
S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．
故答案为：$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．