Question

18．已知F₁为椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上焦点，F₁也是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|=$\frac{5}{3}$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过F₁点作互相垂直的两条直线分别交抛物线C₂于A，B两点，交椭圆C₁于C，D两点，求四边形ABCD的最小值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C₂：x²=4y的焦点（0，1），即c=1，则|MF₁|=y_M+1=$\frac{5}{3}$，则y_M=$\frac{2}{3}$，丨MF₂丨=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}+1）^{2}}$=$\frac{7}{3}$，由椭圆的定义可知：2a=|MF₁|+丨MF₂丨=4，则b²=3，即可求得椭圆C₁的方程；
（2）直线AB，y=kx+1，则CD：x=-k（y-1），分别代入抛物线方程及椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求得S=$\frac{1}{2}$丨AB丨丨CD丨=$\frac{24（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$，利用换元法及函数的单调性即可求得四边形ABCD的最小值．

解答 解：（1）由题意可知：抛物线C₂：x²=4y的焦点（0，1），则a²-b²=1，
由抛物线的定义可知：|MF₁|=y_M+1=$\frac{5}{3}$，则y_M=$\frac{2}{3}$，
则M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$），椭圆的下焦点为F₂，丨MF₂丨=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}+1）^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
由椭圆的定义可知：2a=|MF₁|+丨MF₂丨=4，a=2，
b²=3，
∴椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设直线AB，y=kx+1，则CD：x=-k（y-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，y²-（4k²+2）y+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则丨AB丨=y₁+y₂+p=4k²+4，
$\left\{\begin{array}{l}{x=-k（y-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）y²-8k²y+4k²-12=0，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则y₃+y₄=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₃•y₄=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨y₃-y₄丨=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
则四边形ABCD的面积S，S=$\frac{1}{2}$丨AB丨丨CD丨=$\frac{24（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
令t=3+4k²（t≥3），
则S=$\frac{3}{2}$（t+$\frac{1}{t}$+2）≥8，
当t=3，即k=0时，四边形ABCD的最小值8．

点评 本题考查椭圆的标准方程及抛物线的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查函数的单调性与圆锥曲线的综合应用，考查计算能力，属于中档题．