Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x-x²）＞0的实数x的取值范围为（　　）

• A．（-1，1）
• B．（-1，1+

  2

  ）
• C．（1-

  2

  ，1）
• D．（1-

  2

  ，1+

  2

  ）

Answer 1

分析：由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（1+x）+f（x-x²）＞0转化成f（1+x）＞f（x²-x），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．

解答：解：∵f'（x）=2+cosx，知f（x）=2x+sinx+c，而f（0）=0，∴c=0．
即f（x）=2x+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f'（x）=2+cosx在x∈（0，2）恒大于0，
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的．
由 f（1+x）+f（x-x²）＞0 可得 f（1+x）＞-f（x-x²），即：f（1+x）＞f（x²-x）．

-2＜1+x ＜2 -2＜x2-x ＜2 1+x＞x2-x

，解得解得：x∈（1-

2

，1），
故选C．

点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题．