Question

11．已知圆方程为x²+y²+4mx-12y+4m-2=0与直线x-y+1=0．
（1）用m去表示圆的半径和面积；
（2）求圆面积最小时，圆的一般式方程；
（3）当圆面积最小时，判断圆与直线的位置关系．

Answer 1

分析 （1）利用配方法，可得结论；
（2）利用配方法求最值，即可求圆面积最小时，圆的一般式方程；
（3）当圆面积最小时，求出圆心到直线的距离与半径比较，即可判断圆与直线的位置关系．

解答 解：（1）x²+y²+4mx-12y+4m-2=0可化为（x+2m）²+（y-6）²=4m²-4m+38，
∴r=$\sqrt{4{m}^{2}-4m+38}$，S=（4m²-4m+38）π；
（2）4m²-4m+38=（2m-1）²+37，
∴m=$\frac{1}{2}$时，圆面积最小，圆的一般式方程为x²+y²+2x-12y=0；
（3）当圆面积最小时，圆心坐标为（-1，6），半径为$\sqrt{37}$，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-6+1|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$＜$\sqrt{37}$，
∴圆与直线相交．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．