Question

【题目】如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4 ．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABD中，∵AD=4，AB=4 ，BD=8，

∴AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BD．

又∵面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥面PAD，

又BD面BDM，

∴面MBD⊥面PAD

（2）解：过P作PO⊥AD，

∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO平面PAD，

∴PO⊥面ABCD，

即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．

又△PAD是边长为4的等边三角形，

∴PO=2 ．

过D作DN⊥AB，则DN= = ．

∴S梯形ABCD= ×（2 +4 ）× =24，

∴VP﹣ABCD= =16 ．

【解析】（1）利用勾股定理逆定理可得AD⊥BD，根据面面垂直的性质得出BD⊥平面PAD，故而平面BDM⊥平面PAD；（2）过P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式计算即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．