Question

3．抛物线y=x²与直线x=0、x=1及该抛物线在x=t（0＜t＜1）处的切线所围成的图形面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{12}$
• B． $\frac{1}{10}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值．

解答 解：∵y=f（x）=x²，
∴f'（x）=2x，
即切线l在P处的斜率k=f'（t）=2t，
∴切线方程为y-t²=2t（x-t）=2tx-2t²，
即y-t²=2t（x-t）=2tx-2t²，
y=2tx-t²，
作出对应的图象，
则曲线围成的面积S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}-2tx+{t}^{2}）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-t{x}^{2}+{t}^{2}x）{|}_{0}^{1}$
=${t}^{2}-t+\frac{1}{3}$=$（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{12}$，
∵0＜t＜1，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，面积取的最小值为$\frac{1}{12}$．
故选：A．

点评 本题主要考查积分的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分公式即可得到面积的最小值，考查学生的计算能力．