Question

已知直线y＝ax＋1与双曲线3x²－y²＝1交于A、B两点．

(1)求a的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

Answer 1

解　(1)由消去y，

得(3－a²)x²－2ax－2＝0.

依题意得即－<a<且a≠±.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，

∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，

即x₁x₂＋(ax₁＋1)(ax₂＋1)＝0，

即(a²＋1)x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋1＝0.

∴(a²＋1)·＋1＝0，

∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．

故a＝±1.