Question

已知函数f（x）=e^x+（a-2）x在定义域内不是单调函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值
（Ⅱ）对于任意的a∈（2-e，2）及x≥0，求证e^x≥1+（1-）x²．

Answer 1

解：（I）∵f′（x）=e^x+（a-2），且f（x）=e^x+（a-2）x在定义域内不是单调函数
∴a-2＜0
令f′（x）=e^x+（a-2）=0，则x=ln（2-a）
∵当x∈（-∞，ln（2-a））时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（ln（2-a），+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
∴当x=ln（2-a）时，函数f（x）取极小值f（ln（2-a））=（2-a）+（a-2）ln（2-a），函数没有极大值；
证明：（II）设h（x）=e^x-1+（-1）x，则h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x
由（I）知，f（x）_min=（2-a）+（a-2）ln（2-a），
当a∈（2-e.2）．f（x）_min＞0
故h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x＞0恒成立
从而有h（x）=e^x-1+（-1）x在R上单调递增
当x≥0时，h（x）=e^x-1+（-1）x≥h（0）=0
故e^x≥1+（1-）x²．
分析：（I）根据函数f（x）=e^x+（a-2）x的解析式，求出其导函数的解析式，根据原函数在定义域内不是单调函数，可得导函数在定义域内符号有正有负，进而求出a-2＜0
，分析函数的单调性，即可判断出函数f（x）的极值
（Ⅱ）构造函数h（x）=e^x-1+（-1）x，则h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x，根据（I）中结论，可判断出a∈（2-e，2）时，h′（x）=f（x）＞0恒成立，即
h（x）在R上单调递增，故x≥0时，h（x）≥h（0）=0，进而得到结论．
点评：本题是指数函数与导数的综合应用，考查了利用导数求极值，及确定函数单调性的方法和步骤，熟练掌握导数法在求极值和单调性时的方法和步骤是解答的关键．