Question

【题目】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.

(1)求证:PA//平面MBD.

(2)试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明见解析.

【解析】

(1) 连接AC交BD于点O,证明MO//PA，可得PA//平面MBD；

(2)先利用正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直可得PQ⊥平面ABCD，

结合PQ⊥NC，可得NC⊥平面PQB.

解:(1)证明:连接AC交BD于点O，连接MO，.

由正方形ABCD知O为AC的中点，

∵M为PC的中点，

∴MO//PA.

∵平面MBD，平面MBD，

∴PA//平面MBD.

(2)存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明如下:

∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，

∴BQ⊥NC.

∵Q为AD的中点，△PAD为正三角形，

∴PQ⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，平面PAD

∴PQ⊥平面ABCD.

又∵平面ABCD，

∴.PQ⊥NC.

又，

∴NC⊥平面PQB.

∵平面PCN，

∴平面PCN⊥平面PQB.