Question

【题目】如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.

（1）求四棱锥的体积；

（2）如果是的中点，求证：平面；

（3）不论点在侧棱的任何位置，是否都有？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

（3）不论点在何位置，都有,证明见解析

【解析】

（1）根据棱锥的体积公式即可求四棱锥的体积；

（2）根据线面平行的判断定理即可证明平面；

（3）根据线面垂直的性质定理即可证明.

（1）∵平面，正方形的边长为1，，

∴，即四棱锥的体积为；

（2）如图所示，连结交于，连结.

∵四边形是正方形，∴是的中点.

又∵是的中点，∴.

∵平面，平面，∴平面；

（3）不论点在何位置，都有.

证明如下：∵四边形是正方形，∴.

∵底面，且平面，∴.

又∵，∴平面.

∵不论点在何位置，都有平面.

∴不论点在何位置，都有.