Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=S_n+1（n∈N^*）；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log₂an，c_n=，且{c_n}的前n项和为T_n，求使得对n∈N^*都成立的所有正整数k的值．

Answer 1

解：（1）a_n=S_n+1①
a_n-1=S_n-1+1（n≥2）②
①-②得：a_n=2a_n-1（n≥2），又易得a₁=2∴a_n=2ⁿ（4分）
（2）b_n=n，=
裂项相消可得=（8分）
∵（10分）
∴欲对n∈N^*都成立，须，
又k正整数，∴k=5、6、7（12分）
分析：（1）由a_n=S_n+1，知a_n-1=S_n-1+1（n≥2），从而a_n=2a_n-1（n≥2），由此能够求出数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=n，=，裂项相消得=，，由此能求出使得对n∈N^*都成立的所有正整数k的值．
点评：本题考查求解数列通项公式的方法和裂项求和法的应用，解题时要灵活运用不等式的性质求解参数的取值范围．