Question

已知函数f（x）=x³-2x²+ax+1（a∈R），若函数f（x）在区间（

1

3

，1）内是减函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：求出函数f（x）=x³-2x²+ax+1（a∈R）的导数，由于函数f（x）在区间（

1

3

，1）内是减函数，故导数在这个区间内恒为负，由此不等式解出参数的取值范围．

解答：解：∵f（x）=x³-2x²+ax+1
∴f′（x）=3x²-4x+a
又函数f（x）在区间（

1

3

，1）内是减函数
∴当x∈（

1

3

，1）时，恒有f′（x）=3x²-4x+a＜0
即a＜-3x²+4x在x∈（

1

3

，1）时恒成立
由于令h（x）=-3x²+4x=-3（x-

2

3

）²+

4

3

，当x∈（

1

3

，1）有h（x）∈（1，

4

3

]
判断知a≤1
故答案为（-∞，1]

点评：本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第二种类型．求解本题有一个易错点，即a＜-3x²+4x在x∈（

1

3

，1）时恒成立，易因为判断不清，得出a≥

4

3

，此是由逻辑不清造成的，做题时一定要注意转化的严密性，正确性．