Question

13．求函数f（x）=-2x²+8x+1在区间[t，t+2]的值域．

Answer 1

分析 分4种情况讨论，f（x）=-2x²+8x+1对称轴是x=2，所以分t大于2，t+2小于2，t大于1小于2，t+2大于2小于3这4种情况，即可求函数f（x）=-2x²+8x+1在区间[t，t+2]的值域．

解答 解：f（x）=-2x²+8x+1对称轴是x=2．
t≥2时，函数在区间[t，t+2]上单调递减，值域为[-2t²+9，-2t²+8t+1]；
1＜t＜2时，x=t+2，函数取得最小值-2t²+9，x=2时，函数取得最大值9，值域为[-2t²+9，9]；
0＜t≤1时，x=t，函数取得最小值-2t²+8t+1，x=2时，函数取得最大值9，值域为[-2t²+8t+1，9]；
t≤0时，函数在区间[t，t+2]上单调递增，值域为[-2t²+8t+1，-2t²+9]．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数的单调性，正确分类是关键．