Question

（本小题满分12分）已知函数（,为自然对数的底数）

（Ⅰ）若函数有三个极值点,求的取值范围

（Ⅱ）若存在实数,使对任意的,不等式恒成立,求正整数的最大值

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：对于第一问，将关于函数的极值点的个数，转化为导数等于零的方程的根的个数，对于指数幂是大于零的，最后转化成一个三次方程有三个根的问题，剩下的由三次函数的两个极值点的符号来决定，对于第二问，存在和任意要分清，最值的方向要取对，最后转化成不等式恒成立问题，又转化成最值问题，注意是正整数．

试题解析：（Ⅰ）

因为有个极值点，所以方程有个实根，

令，，所以函数在上单调递增，在单调递减，所以只要满足，所以， 4分

（Ⅱ）不等式 ,即,即．

转化为存在实数,使对任意的,

不等式恒成立．

即不等式在上恒成立．

即不等式在上恒成立

设,则．

设,则,因为,有．

故在区间上是减函数

又

故存在,使得．

当时,有,当时,有．

从而在区间上递增,在区间上递减

又

所以当时,恒有;当时,恒有;

故使命题成立的正整数的最大值为5

考点：函数的极值点，函数的图像走向，恒成立问题的转化．