Question

3．一个暗箱中有大小相同的4只球，其中有k（k∈N^*）只白球，其余的为黑球，每次从中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲从暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙是从暗箱中一次性取出2只球．
（1）当k=2时，分别写出甲、乙总得分ξ、η的分布列；
（2）试求甲总得分比乙总得分高的概率，并求概率最大时k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意甲总得分ξ可为2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出甲总得分ξ的分布列；乙总得分η可为2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出乙总得分η的分布列．
（2）分别求出当k=2时，甲总得分比乙总得分高的概率，k=1时，甲总得分比乙总得分高的概率和k=3时，甲总得分比乙总得分高的概率，从而得到当k=2时甲总得分比乙总得分高的概率达到最大．

解答 解：（1）由题意甲总得分ξ可为2，3，4．
P（ξ=2）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=3）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=4）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$．…（3分）
∴甲总得分ξ的分布列：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

…（4分）
乙总得分η可为2，3，4．
P（η=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（η=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．…（7分）
∴乙总得分η的分布列：

η	2	3	4
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

…（8分）
（2）由（1）知当k=2时，甲总得分比乙总得分高的概率为
P（ξ＞η）=P（ξ=3）•P（η=2）+P（ξ=4）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=3）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{7}{24}$． …（10分）
当k=1时，甲总得分比乙总得分高的概率为
P（（ξ＞η）=P（ξ=4）•P（η=3）=（$\frac{3}{4}$）²×$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{9}{32}$． …（12分）
当k=3时，甲总得分比乙总得分高的概率为
P（ξ＞η）=P（ξ=3）•P（η=2）+P（ξ=4）=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}）（\frac{1}{4}）=\frac{1}{4}$，
比较三者得，当k=2时甲总得分比乙总得分高的概率达到最大． …（14分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查概率的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．