Question

12．已知圆P与圆C₁关于直线l：x-y+3=0对称，圆C₁方程为：（x+3）²+（y-4）²=4．
（1）求圆P方程；
（2）点Q为直线l上一动点，过点Q作圆P的切线，求切线长的最小值；
（3）梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，且AB＞CD）内接于圆P，点E是对角线AC与BD的交点，求$\frac{AB-CD}{PE}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）在圆C₂上任取一点M（x，y），求出点M关于直线x-y+3=0的对称点为N（y-3，x+3），再将N坐标代入圆C₁的方程，化简即可得到圆C₂的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出所得切线长的最小值．
（3）易判断点E在x轴上，则E（d，0），设BD的方程为x=ky+d（k＞0），与圆方程联立消x得关于y的一元二次方程，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由韦达定理可得y₁+y₂，进而可把$\frac{AB-CD}{PE}$用k表示出来，再利用基本不等式即可求得其最大值．

解答 解：（1）在圆C₂上任取一点M（x，y），此点关于直线x-y+3=0的对称点为N（m，n
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-n}{x-m}=-1}\\{\frac{1}{2}（x+m）-\frac{1}{2}（y+n）+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=y-3}\\{n=x+3}\end{array}\right.$，
∵点N（m，n）即N（y-3，x+3）在圆C₁：（x+3）²+（y-4）²=4上，
∴y²+（x-1）²=4，即为圆C₂的方程；
（2）y²+（x-1）²=4，圆心坐标（1，0），半径为2．
圆心到直线l：x-y+3=0的距离d=$\frac{|1-0+3|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所得切线长的最小值为$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2．
（3）根据圆C₂的方程y²+（x-1）²=4，圆心平移到坐标原点，所求$\frac{AB-CD}{PE}$的最大值就是$\frac{AB-CD}{OE}$最大值．对称性可知点E在x轴上，则E点的坐标为（d，0），
即为设BD的方程为x=ky+d（k＞0），由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+d}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+k²）y²+2dky+d²-4=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{2kd}{1+{k}^{2}}$，
m-n=2y₁+2y₂=$\frac{4kd}{1+{k}^{2}}$，
从而$\frac{AB-CD}{OE}$=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4}{\frac{1}{k}+k}$≤$\frac{4}{2\sqrt{\frac{1}{k}×k}}$=2，
等号当且仅当k=$\frac{1}{k}$=1时取得．
$\frac{AB-CD}{PE}$的最大值为2．

点评 本题求一个圆关于定直线对称的圆的方程，并求过定点的圆的切线．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．