Question

17．如图，M、N分别是四面体OABC的棱AB与OC的中点，已知向量$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，则xyz=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，求出x，y，z，即可得出结论．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，
∴$x=-\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，z=$\frac{1}{2}$，
∴xyz=$\frac{1}{8}$．
故答案为$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查空间向量的线性运算，考查学生的计算能力，属于中档题．