Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍，直线y=-x+1与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析 由已知可得a²=2b²，化椭圆方程为x²+2y²-2b²=0，联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式列式求得b²，则椭圆方程可求．

解答 解：由题意a²=2b²，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即x²+2y²-2b²=0
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，得3x²-4x+2-2b²=0．
△=16-12（2-2b²）=24b²-8＞0，得${b}^{2}＞\frac{1}{3}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2-2{b}^{2}}{3}$．
∴$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{24{b^2}-8}}}{3}$，则$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{3{b^2}-1}}}{3}=\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$．
解得b²=2．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，属中档题．