Question

3．设f（x）=sinxcosx-cos²（x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，a=1，b+c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦公式可化简f（x）=sin2x-$\frac{1}{2}$，继而可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，可求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再利用余弦定理可得bc=1，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA即可求得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{2}$）]=sin2x-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=π；
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$）=sinA-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵在锐角△ABC中，a=1，b+c=2，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA得：1=4-3bc，
整理得：bc=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查二倍角公式及余弦定理，求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及bc=1是求得△ABC的面积关键，属于中档题．