已知函数f(x)=x2+m,其中m∈R,定义数列{an}如下:a1=0,an+1=f(an),n∈N*.
(1)当m=1时,求a2,a3,a4的值;
(2)是否存在实数m,使a2,a3,a4成等比数列?若存在,请求出实数m的值,并求出等比数列的公比;若不存在,请说明理由.
(3)设m=-1,f-1(x)为f(x)在x∈[0,+∞)的反函数,数列{bn}满足:b1=1,bn+1=f-1(bn2)(n∈N*),记Sn=b12+b22+…+bn2,求使Sn>2010成立的最小正整数n的值.
分析:(1)根据数列和函数的关系直接代入即可求出a2,a3,a4的值.
(2)此题的关键是运用等比数列的性质a32=a2•a4,求出m的值,再根据相邻两项的比值求出等比数列的公比.
(3)首先求出反函数,再据数列和函数的关系推出数列{bn2}是等差数列,就可以求出Sn,最后求出满足Sn>2010的最小正整数n的值.
解答:解:(1)当m=1时,则f(x)=x
2+1
∵a
n+1=f(a
n),a
1=0
∴a
2=f(a
1)=f(0)=1,a
3=f(a
2)=2,a
4=f(a
3)=5
∴a
2=1,a
3=2,a
4=5
(2)∵a
n+1=f(a
n),f(x)=x
2+m
∴a
2=f(a
1)=f(0)=m,a
3=f(a
2)=m
2+m,a
4=f(a
3)=(m
2+m)
2+m=m
4+2m
3+m
2+m
∵a
2,a
3,a
4成等比数列
∴(m
2+m)
2=m(m
4+2m
3+m
2+m)
即m
4+2m
3+m
2=m
5+2m
4+m
3+m
2∴m
5+m
4-m
3=m
3(m
2+m-1)=0
又∵a
2=m≠0
∴m
2+m-1=0
∴
m=或
m=当
m=时,数列的公比
q===m+1=当
m=,数列的公比
q=(3)∵f(x)=x
2-1,x∈[0,+∞)
∴
f-1(x)=(x≥-1)
又∵
bn+1=∴b
n+12=b
n2+1
∵b
1=1
∴b
12=1,
∴b
n2是以1为首项,1为公差的等差数列
∴b
n2=n
∵S
n=b
12+b
22+…+b
n2∴
Sn=1+2++n=∵S
n>2010,即
>2010∴解得n≥63
∴所求的最小正整数n的值是63.
点评:本题综合考查了数列和函数的关系,同时考查了等比数列的性质以及反函数的求法;同时注意根据bn+12=bn2+1,可以看出{bn2}是等差数列,是解题的关键.