Question

5．已知函数f（x）=a（x²+1）+2lnx．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意a∈（-2，-1）及x∈[1，3]，总有am-$\frac{1}{a}$f（x）＜a²成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）由题意得恒有ma-f（x）＞a²成立，等价于ma-a²＞f（x）_max，利用导数求得函数的最大值，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2}{{x}^{2}}$，（x＞0），
①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，当0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{a}}$时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）上是增函数；
当x＞$\sqrt{-\frac{1}{a}}$时，f′（x）＜0，则f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）上是减函数，
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）上是增函数，f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，
恒有ma-f（x）＞a²成立，等价于ma-a²＞f（x）_max，
因为a∈（-4，-2），所以$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{-\frac{1}{a}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，
由（Ⅰ）知：当a∈（-4，-2）时，f（x）在[1，3]上是减函数
所以f（x）_max=f（1）=2a，
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因为a∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0
所以实数m的取值范围为m≤-2

点评 本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识，考查恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力，属难题．