Question

2．对于不等式$\frac{1}{8}$（2t-t²）≤x²-3x+2≤3-t²试求对区间[0，2]上任意x都成立的实数t的取值范围．

Answer 1

分析 求出x²-3x+2在区间[0，2]上的最小值和最大值，把问题转化关于t的不等式组得答案．

解答 解：∵x²-3x+2=$（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
∴当x∈[0，2]时，$（{x}^{2}-3x+2）_{min}=-\frac{1}{4}$，（x²-3x+2）_max=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}（2t-{t}^{2}）≤-\frac{1}{4}}\\{3-{t}^{2}≥2}\end{array}\right.$，解得：-1$≤t≤1-\sqrt{3}$．
∴对于不等式$\frac{1}{8}$（2t-t²）≤x²-3x+2≤3-t²，对区间[0，2]上任意x都成立的实数t的取值范围是[-1，1-$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了不等式的解法，体现了数学转化思想方法，是基础题．