Question

7．三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=5，PA=BC若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，且球的表面积为34π，则棱PA的长为（　　）

• A． 3
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 设PA=t，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}=25\\{b^2}+{c^2}={t^2}\\{c^2}+{a^2}=25\end{array}\right.$$⇒{a^2}+{b^2}+{c^2}=\frac{{50+{t^2}}}{2}$，由于球的表面积为34π，可得a²+b²+c²=34，所以$\frac{{50+{t^2}}}{2}=34$，即可解得t

解答 解：设PA=t，依题意可将三棱锥补成长方体（如图），
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}=25\\{b^2}+{c^2}={t^2}\\{c^2}+{a^2}=25\end{array}\right.$$⇒{a^2}+{b^2}+{c^2}=\frac{{50+{t^2}}}{2}$，
长方体的外接球的半径R=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}{2}$
由于球的表面积为4πR²=34π，可得a²+b²+c²=34，所以$\frac{{50+{t^2}}}{2}=34$，解得$t=3\sqrt{2}$，
选C．

点评 本题考查了几何体的外接球，把椎体体补成柱体是解题的常用方法之一，属于中档题．