Question

7．已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
（1）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由
（2）若?x＞1，xf（x）＜ax²-ax+a恒成立，求a的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，然后对a分类讨论导函数的符号，在a＞0时由导函数在不同区间内的符号得到原函数的单调性，从而求得函数的极值点；
（2）问题等价于a＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$对?x＞1恒成立，设函数g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$（x＞1），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=ax-lnx-1，得f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{a}$，由f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{a}$．
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增，
即f（x）在x=$\frac{1}{a}$处有极小值．
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点；
（2）对?x＞1，xf（x）＜ax²-ax+a恒成立
等价于a＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$对?x＞1恒成立，
设函数g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$（x＞1），则g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$（x＞1），
令函数φ（x）=x-lnx-2，则φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$（x＞1），
当x＞1时，φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，故φ（x）在（1，+∞）递增，
又φ（3）=1-ln3＜0，φ（4）=2-ln4＞0，
故存在x₀∈（3，4），使得φ（x₀）=0，即g′（x₀）=0，
且当x∈（1，x₀）时，φ（x）＜0，即g（x）＜0，故g（x）在（1，x₀）递减，
当x∈（x₀，+∞）时，φ（x）＞0，即g（x）＞0，故g（x）在（x₀，+∞）递增，
故x∈（1，+∞）时，g（x）有最小值g（x₀）=$\frac{{x}_{0}l{nx}_{0}{+x}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
由φ（x₀）=0，得x₀-lnx₀-2=0，即lnx₀=x₀-2，
故g（x₀）=$\frac{{x}_{0}{（x}_{0}-2）{+x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=x₀，
故a＜x₀，又x₀∈（3，4），
故实数a的最大整数值是3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．