Question

18．已知函数f_n（x）=$\frac{{x}^{n+1}-1}{x-1}$，g_m（x）=m^x-mx（其中m≥e，n，me为正整数，e为自然对数的底）
（1）证明：当x＞1时，g_m（x）＞0恒成立；
（2）当n＞m≥3时，试比较f_n（m）与f_m（n） 的大小，并证明．

Answer 1

分析 （1）首先求解导函数，然后利用导函数研究原函数的单调性即可证得题中的不等式；
（2）构造函数，结合第一问的结论对不等式进行放缩即可证得题中的结论．

解答 解：（1）由题意可得：${g}_{m}^{'}（x）={m}^{x}lnm-m＞{m}^{x}-m$，
结合x＞1可得：${g}_{m}^{'}（x）＞0$，则函数g_m（x） 在区间（1，+∞）上单调递增，
g_m（x）＞g_m（1）=m-m=0．
（2）∵n＞m≥3，令n=m^α，则α＞1，
由（1）可知m^α-mα＞0，∴m^α＞mα，
令h（x）=m^x-（m-i）x-i，i=0，1，2，3，4，…，m-1，x＞1，
则h'（x）=m^xlnm-（m-i）＞m^x-m+i＞m-m+i=i≥0，
∴h（x）＞h（1）=m-m+i-i=0，
∴h（α）＞0，即m^α-i＞（m-i）α，i=0，1，2，3，4，…，m-1，
$\left.\begin{array}{l}{∴{f}_{m}（n）=\frac{{n}^{n+1}-1}{n-1}=1+n+{n}^{2}+{n}^{3}+…+{n}^{m}}\\{=1+{m}^{α}+{（{m}^{α}）}^{2}+{（{m}^{α}）}^{3}+…+{（{m}^{α}）}^{m}}\\{=1+{m}^{α}+{m}^{2α}+{m}^{3α}…+{m}^{mα}}\\{＜1+{m}^{1}+{m}^{2}+…+{m}^{n-（m-1）}+{m}^{n-（m-2）}+…+{m}^{n-1}+{m}^{n}}\\{=\frac{{m}^{n+1}-1}{m-1}={f}_{n}（m），}\end{array}\right.$
即有f_n（m）＞f_m（n）．

点评 本题考查了导数研究函数的单调性，构造法，放缩法结合导函数证明不等式的方法，导数研究函数的最值等知识点，属于常考的典型题目．