Question

18．已知数列{a_n}满足递推关系（3-a_n+1）（6+a_n）=18，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：$\sum _{i=1}^{n}$a_i＜3．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}$，由此利用构造法能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由${a}_{n}=\frac{3}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{3}{{2}^{n}}$，利用放缩法能证明$\sum_{i=1}^{n}$a_i＜3．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足递推关系（3-a_n+1）（6+a_n）=18，且a₁=1，
∴a_n+1a_n=3a_n-6a_n+1，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{3}=2（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}）$，
令${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{3}$，得${b}_{1}=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，b_n=2b_n-1，
∴${b}_{n}=\frac{4}{3}×{2}^{n-1}$=$\frac{2}{3}×{2}^{n}$
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{3}{{2}^{n+1}-1}$．
（2）证明：∵${a}_{n}=\frac{3}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{3}{{2}^{n}}$，
∴$\sum_{i=1}^{n}$a_i=$\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{{2}^{n+1}-1}$＜$\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{{2}^{n}}$=3×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜3．
∴$\sum_{i=1}^{n}$a_i＜3．

点评 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，及等比数列的求和公式的应用，解题时要注意放缩法的合理运用．