Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线左侧的动点作于点的角平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线交曲线于两点，点在上，且轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是.

【解析】

（1）设，由题意可得：，可得==，即，化简整理即可得出；（2）由题意可得：直线的斜率不为0，可设直线的方程为：，设，，与椭圆方程联立化为：，直线的斜率，方程为：，结合根与系数的关系化简整理即可得出．

（1）设P（x，y），由题意可得：|MF|=|PF|，∴==．

即=，化为：+y2=1．

（2）由题意可得：直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为：．

设，．

联立，化为：，成立．

∴，，．

∴直线AC的斜率，方程为：．

即： ．

又===．

∴y=，即y=．

∴直线恒过定点．