【题目】如图,已知是上、下底边长为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴折叠,使二面角为直二面角.
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)可以以点为原点, 为轴建立空间直角坐标系,证明,或是证明平面,即证明,(2)向量法是分别求两个平面和的法向量,求法向量夹角的余弦值.
试题解析:解法一:(1)证明由题设知,,所以是所折成的直二面角的平面角,即.
故可以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
如图,则相关各点的坐标是,,,,
从而,,.
所以.
(2)因为,所以.
由(1),所以平面,是平面的一个法向量,
设是平面的一个法向量,
由取,得.
设二面角的大小为,由、的方向可知,所以即二面角的余弦值是.
解法二:(1)证明:有题设知,,
所以是所折成的直二面角的平面角,
即.从而平面,
是在面内的射影.
因为,,
所以,,从而,平面.
可得.
(2)由(1),,知平面,
设,过点作于,连接,则是在平面内的射影,由平面可得.
所以是二面角的平面角,
由题设知,,,
所以,,
从而,又,
所以,即二面角的余弦值.
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【题目】下列四个命题中,真命题有________.(写出所有真命题的序号)
①若a,b,c∈R,则“ac2>bc2”是“a>b”成立的充分不必要条件;
②命题“x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“x∈R,x2+x+1≥0”;
③命题“若|x|≥2,则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|<2,则-2<x<2”;
④函数f(x)=ln x+x-在区间(1,2)上有且仅有一个零点.
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【题目】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2 000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
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【题目】关于函数,给出下列命题:
①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数,且满足f(1)=1,则f(2)-f(-4)=0;
②若函数f(x)满足f(x+1)f(x)=2 017,则f(x)是周期函数;
③若函数g(x)=是偶函数,则f(x)=x+1;
④函数y=的定义域为.
其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号)
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【题目】重庆市某厂党支部10月份开展“两学一做”活动,将10名党员技工平均分为甲,乙两组进行技能比赛.要求在单位时间内每个技工加工零件若干,其中合格零件的个数如下表:
1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | |
甲组 | 4 | 5 | 7 | 9 | 10 |
乙组 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
(1)分别求出甲,乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差,并由此分析两组技工的技术水平;
(2)质检部门从该车间甲,乙两组中各随机抽取1名技工,对其加工的零件进行检测,若两人完成合格零件个数之和超过12件,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的概率.
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【题目】已知数列为等差数列, ,公差,且其中的三项成等比.
(1)求数列的通项公式以及它的前n项和;
(2)若数列满足,为数列的前项和,求;
(3)在(2)的条件下,若不等式()恒成立,求实数的取值范围.
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