Question

【题目】如图，在三棱柱中，已知平面，，，.

(1) 求证：；

(2) 求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1)直棱柱的关系先证明和进而证明平面,从而得到即可.

(2)建立以为坐标原点,以,,所在的直线分别为,,轴的空间直角坐标系,再求出的向量与平面的法向量求解即可.

解：（1）如图,连接,因为平面,平面,平面,所以,.

又,所以四边形为正方形,所以.

因为,所以.又平面,平面,,所以,平面

因为平面,所以.

又平面,平面,,所以平面.

因为平面,所以

（2）解法1:在中,,,,所以.

又平面,,所以三棱锥的体积

易知,,,

所以

设点到平面的距离为,则三棱锥的体积,

由等体积法可知,则,解得 .

设直线与平面所成的角为,则,

故直线与平面所成角的正弦值为

解法2：(2)由（1）知,,,两两垂直,以为坐标原点,以,,所在的直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,.

所以,,,,

所以,,

设平面的法向量为,则,即,

令,,所以为平面的一个法向量,

则

设直线与平面所成的角为,则,

故直线与平面所成角的正弦值为