Question

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（1）若0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．
（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．

解答： 解：（1）∵0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，
∴cosα=

2

2

，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-

1

2

，
=

2

2

×（

2

2

+

2

2

）-

1

2

=

1

2

．
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．