Question

如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的
半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

Answer 1

（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，
S_△RST=．                ……………………2分
由题意，△RST在月牙形公园里，
RT与圆Q只能相切或相离；                                   ……………………4分
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
则有RT≤4，SH≤2，
当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．
此时，场地面积的最大值为S_△RST==4（km²）．           ……………………6分
（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有
．
……………………8分
令，则
．          ………………… 11分
若，，
又时，，时，，                  …………………14分
函数在处取到极大值也是最大值，
故时，场地面积取得最大值为（km²）．                  …………………16分

略