Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$．设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{7}$，f（C）=0．
（1）求角C；
（2）若向量$\overrightarrow m=（1，sinA）$与向量$\overrightarrow n=（3，sinB）$共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用f（C）=0，求出C．
（2）利用向量$\overrightarrow m=（1，sinA）$与向量$\overrightarrow n=（3，sinB）$共线，和余弦定理求出a，b的值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$------3
∴$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$即$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$------4
∵0＜C＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$------5
∴$C=\frac{π}{3}$------6
（2）∵$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴sinB-3sinA=0------7
据正弦定理可得 b-3a=0…①------9
又由余弦定理可得 c²=a²+b²-2abcosC
而$c=\sqrt{7}$，$C=\frac{π}{3}$，∴7=a²+b²-ab…②------11
由①②知，a=1b=3------12

点评 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，三角函数的周期的求法，余弦定理的应用，向量的应用，考查计算能力，常考题型．