Question

10．关于x的方程$\frac{1}{||x-1|-1|}$=|sin$\frac{1}{2}πx$|在[-2016，2016]上解的个数为4031．

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：y=$\frac{1}{||x-1|-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{1}{x}，0＜x≤1}\\{\frac{1}{2-x}，1＜x＜2}\\{\frac{1}{x-2}，x＞2}\end{array}\right.$，
作函数y=$\frac{1}{||x-1|-1|}$与y=|sin$\frac{1}{2}$πx|在[-2016，2016]上的图象如下，
由图象知函数y=|sin$\frac{1}{2}πx$|的周期是2，两个函数都关于x=1对称，
当x≤0时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[-2016，0]内有1008×2=2016个交点，
在[0，2]内两个函数只有一个交点，
当x≥2时，两个函数在每个周期内都有两个交点，此时在[2，2016]内有1007×2=2014个交点，
则在[-2016，2016]上解的个数为2016+1+2014=4031，
故答案为：4031

点评 本题主要考查方程根式的个数的求解，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．