Question

2．如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为2，体积为$\frac{4}{3}$，则圆柱的体积为2π．

Answer 1

分析 外接球的球心在圆柱上下底面中心的连线中点，利用棱锥的体积计算出棱锥的高，利用勾股定理了非常解出外接球的半径，计算出圆柱的高，圆柱的底面直径为棱锥底面对角线长．

解答 解：设圆柱的上下底面中心为E，F，则外接球的球心为EF的中点O，连接AE，OA，OS．
则AE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵V_S-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•SE$=$\frac{1}{3}×4×SE$=$\frac{4}{3}$，∴SE=1，
设外接球的半径为r，则OE=OS-SE=r-1．OA=r，
∴r²=（r-1）²+2，解得r=$\frac{3}{2}$．
∴圆柱的高h=2OE=2（$\frac{3}{2}-1$）=1，
∴圆柱的体积V=π×AE²×h=2π．
故答案为2π．

点评 本体考查了圆柱，棱锥与外接球的关系，常见几何体的体积计算，属于中档题．