Question

11．设函数f（x）=3x-mx³，若对任意的x∈[-1，1]，都有f（x）≤1，则实数m的值为4．

Answer 1

分析 求出函数的导函数，对二次项系数分类讨论，确定导函数的正负，得出原函数的单调性，求出在闭区间上函数的最大值即可．

解答 解：由题意，f′（x）=-3mx²+3，
当m≤0时-3mx²+3＞0，函数是增函数，f（1）=3-m，只需f（1）≤1即可，解得m≥2，不成立，
当m＞0时，令f′（x）=-3mx²+3=0解得x=±$\frac{\sqrt{m}}{m}$，
①当x＜-$\frac{\sqrt{m}}{m}$或x＞$\frac{\sqrt{m}}{m}$ 时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
②当-$\frac{\sqrt{m}}{m}$≤x≤$\frac{\sqrt{m}}{m}$时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
∵函数为奇函数，
∴x∈[-1，1]，f（x）的最大值为f（1）或f（$\frac{\sqrt{m}}{m}$）或f（-1），
∴f（1）≤1，得m≥2，f（-1）≤1，得m≤4，
f（$\frac{\sqrt{m}}{m}$）≤1得，m≥4，
综上a=4为所求．
故答案为：4．

点评 考查了导函数的分类讨论，确定原函数的单调性问题和恒成立问题的转换．