Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+3ⁿ⁺¹．
（1）求证{a_n-3ⁿ⁺¹}是等比数列；
（2）求a_n；
（3）如果改成a_n+1=2a_n+3•2^n-1之后呢？

Answer 1

分析 （1）由a_n+1-3ⁿ⁺²=2（a_n-3ⁿ⁺¹），得到{a_n-3ⁿ⁺¹}是以-8为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，a_n-3ⁿ⁺¹=-8×2^n-1=-2ⁿ⁺²，即可出答案．
（3）a_n+1=2a_n+3•2^n-1，两边同时除以2ⁿ⁺¹，得到{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{3}{4}$为首项的等差数列，即可出答案．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+3ⁿ⁺¹．
∴a_n+1-3ⁿ⁺²=2（a_n-3ⁿ⁺¹），
∵a₁=1，
∴a₁-3¹⁺¹=1-9=-8，
∴{a_n-3ⁿ⁺¹}是以-8为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，a_n-3ⁿ⁺¹=-8×2^n-1=-2ⁿ⁺²，
∴a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²，
当n=1时，成立，
故a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²，
（3）∵a_n+1=2a_n+3•2^n-1，两边同时除以2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{3}{4}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，
∵a₁=1，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{3}{4}$为首项的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$（n-1）=$\frac{3n}{4}$-$\frac{1}{4}$，
∴a_n=（3ⁿ-1）2^n-2．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．