Question

8．已知函数f（x）=1g（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），若对于任意的x∈（1，2]时，f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f[$\frac{m}{（x-1）^{2}（x-6）}$]＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [4，+∞）
• B． （12，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 根据函数的表达式可判断函数为奇函数，且单调递增．不等式可整理为（x+1）（x-1）（x-6）＜-m恒成立，只需构造函数h（x）=（x+1）（x-1）（x-6），求出区间内的最大值即可．因为x∈（1，2]，故能取等号．

解答 解：∵f（x）=1g（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）=1g（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
=-f（x），
∴函数为奇函数，由表达式显然知函数为增函数，
∵f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f[$\frac{m}{（x-1）^{2}（x-6）}$]＞0恒成立，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞-$\frac{m}{（x-1）^{2}（x-6）}$，
∴（x+1）（x-1）（x-6）＜-m恒成立，
令h（x）=（x+1）（x-1）（x-6），可知函数h（x）在x∈（1，2]时，单调递减，
∴h（x）的最大值大于h（1）=0，
∴0≤-m，
∴m≤0，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性和应用，利用构造函数的方法，通过求函数的最值解决恒成立问题．