Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为BB₁和CC₁的中点，AF⊥平面A₁DE，其垂足F落在直线A₁D上．
（1）求证：BC⊥A₁D； 
（2）若A₁D=$\sqrt{13}$，AB=BC=3，G为AC的中点，求三棱锥G-A₁DB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理，证明BC⊥平面AA₁B₁B，即可证明BC⊥A₁D； 
（2）利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥G-A₁DB₁的体积．

解答 （1）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
又∵BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC．…（1分）
又∵AF⊥平面A₁DE，DE?平面ADE，∴AF⊥DE．…（3分）
又∵D，E分别为BB₁和CC₁的中点，∴DE∥BC，∴AF⊥BC．…（4分）
而AA₁∩AF=A，
∴BC⊥平面AA₁B₁B．
又∵A₁D?平面AA₁B₁B，∴BC⊥A₁D． …（6分）
（2）解：∵AB=BC=3，∴A₁B₁=B₁C₁=DE=3，
则由Rt△A₁B₁D≌Rt△C₁DE，知C₁D=$\sqrt{13}$，
∴C₁E=$\sqrt{{C}_{1}{D}^{2}-D{E}^{2}}$=2，则B₁D=2．…（8分）
由（1）知BC⊥平面AA₁B₁B，则由G为AC的中点，知G到平面AA₁B₁B的距离为C到平面AA₁B₁B的距离的$\frac{1}{2}$，
即为$\frac{1}{2}BC$=$\frac{3}{2}$，…（10分）
∴${V}_{G-{A}_{1}D{E}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．