Question

已知函数f(x)=

kx+k(1-a2)                      (x≥0) x2+(a2-4a)x+(3-a)2       (x＜0)

，其中a∈R，若对任意的非零的实数x₁，存在唯一的非零的实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，则k的最小值为（　　）

• A．-

  1

  15

• B．5
• C．6
• D．8

Answer 1

分析：由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0时，f（x）=k（1-a²），进而得到，关于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有实数解，即得△≥0，解出k即可．

解答：解：∵函数f(x)=

kx+k(1-a2)                      (x≥0) x2+(a2-4a)x+(3-a)2       (x＜0)

，其中a∈R，
∴x=0时，f（x）=k（1-a²），
又由对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
易知，k≤0时，结合图象可知，不符合题意，
∴k＞0，且（3-a）²=k（1-a²），即（k+1）a²-6a+9-k=0有实数解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8，
又∵k＞0，
∴k的取值范围为[8，+∞），
故选D．

点评：本题考查了分段函数的性质，同时考查了二次函数的性质，通过图象比较函数值的大小，数形结合的数学思想方法有助于我们的解题，更形象直观．属于中档题．