Question

3．已知$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，则$\overrightarrow a+\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影为2．

Answer 1

分析 根据题意求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值，求出向量（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ的余弦值，再利用数量积公式和向量投影的定义，即可求出向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影值．

解答 解：$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|×cos60°=1×2×$\frac{1}{2}$=1；
由此可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=1+2+4=7，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$；
设$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+1=2，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{2}{\sqrt{7}×1}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
可得向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为：
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|cosθ=$\sqrt{7}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量数量积的定义、向量的夹角公式以及模长、投影的概念与计算问题，属于基础题目．