Question

18．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]上是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“等域区间”．
（1）求证：函数$g（x）=3-\frac{5}{x}$不存在“等域区间”；
（2）已知函数$h（x）=\frac{（2a+2）x-1}{{{a^2}x}}$（a∈R，a≠0）有“等域区间”[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n-m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．

解答 解：（1）证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]⊆（-∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数$g（x）=3-\frac{5}{x}$在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则$\left\{\begin{array}{l}g（m）=m\\ g（n）=n\end{array}\right.$
故m、n是方程$3-\frac{5}{x}=x$的同号的相异实数根．
∵x²-3x+5=0无实数根，
∴函数$y=3-\frac{5}{x}$不存在“等域区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，
∵x≠0，∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数$h（x）=\frac{（2a+2）x-1}{{{a^2}x}}=\frac{2a+2}{a^2}-\frac{1}{{{a^2}x}}$在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则$\left\{\begin{array}{l}h（m）=m\\ h（n）=n\end{array}\right.$
故m、n是方程$\frac{2a+2}{a^2}-\frac{1}{{{a^2}x}}=x$，即a²x²-（2a+2）x+1=0的同号的相异实数根．
∵$mn=\frac{1}{a^2}＞0$，∴m，n同号，故只需△=（-（2a+2））²-4a²=8a+4＞0，
解得$a＞-\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围为$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性的性质，及确定性问题，要注意建立“正难则反”的思想，选择反证法来简化证明过程．属于难题．