Question

8．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=1，对于任意x∈R，f（x）≥x，且f（${\frac{1}{2}$+x）=f（${\frac{1}{2}$-x）．令g（x）=f（x）-|mx-1|（m＞0）．
（1）求函数f（x）解析式；
（2）探求函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=1，得c=1，由$f（{\frac{1}{2}+x}）=f（{\frac{1}{2}-x}）$推出a=-b，利用任意x∈R，f（x）≥-x，即ax²+（b+1）x+1≥0都成立，通过判别式求出a，b．即可得到好像是解析式．
（2）求出g（x）的解析式，通过$x≥\frac{1}{m}，g（x）={x^2}-（{1+m}）x+2$，对称轴满足$\frac{m+1}{2}≤\frac{1}{m}$，判断函数的单调性，若$x＜\frac{1}{m}，g（x）={x^2}+（{m-1}）x$其对称轴满足$\frac{1-m}{2}≤\frac{1}{m}$，判断函数的单调性，然后推出当m=1时．当m＞1时，1＜m≤2时，m＞2时，函数g（x）零点的个数．

解答 解：（1）由f（0）=1，得c=1，由$f（{\frac{1}{2}+x}）=f（{\frac{1}{2}-x}）$可知 $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，所以a=-b，
又对于任意x∈R，f（x）≥x，即ax²+（b-1）x+1≥0都成立，
所以a＞0，△=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x+1．
（2）∵$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（{1+m}）x+2，x≥\frac{1}{m}\\{x^2}+（{m-1}）x，x＜\frac{1}{m}\end{array}\right.$，
若$x≥\frac{1}{m}，g（x）={x^2}-（{1+m}）x+2$，其对称轴为$x=\frac{m+1}{2}$，当$\frac{m+1}{2}≤\frac{1}{m}$，即0＜m≤1时，
函数在$（{\frac{1}{m}，+∞}）$上为增函数； 当$\frac{m+1}{2}＞\frac{1}{m}$，即m＞1时，
函数在$（{\frac{1}{m}，\frac{m+1}{2}}）$上为减函数，在$（{\frac{m+1}{2}，+∞}）$上为增函数；
 若$x＜\frac{1}{m}，g（x）={x^2}+（{m-1}）x$其对称轴为$x=\frac{1-m}{2}$，此时$\frac{1-m}{2}≤\frac{1}{m}$，
所以函数在$（{-∞，\frac{1-m}{2}}）$上为减函数，在$（{\frac{1-m}{2}，\frac{1}{m}}）$上为增函数，且g（0）=0，g（1）=m＞0，所以函数g（x）在（0，1）上有一个零点；
当m=1时，∵$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≥1\\{x^2}，x＜1\end{array}\right.$，没有零点；
当m＞1时，函数g（x）在$（{0，\frac{1}{m}}）$上为增函数，在$（{\frac{1}{m}，1}）$上为减函数，且g（0）=0，g（1）=2-m，若2-m≥0，即1＜m≤2时，函数g（x）在（0，1）上没有零点，
若2-m＜0，即m＞2时，函数g（x）在（0，1）上有一个零点． 
综上得，当0＜m＜1或m＞2时函数g（x）在（0，1）上有一个零点；
当1≤m≤2时，函数g（x）在（0，1）上没有零点．

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的零点个数的判断，函数的单调性的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．