Question

18．已知圆C：x²+（y-2）²=1，P是x轴正半轴上的一个动点，若PA，PB分别切圆C于A，B两点，若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则直线CP的方程为2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0．

Answer 1

分析 如图所示，由切线长定理得到Q为线段AB中点，在直角三角形ACQ中，利用勾股定理求出|CQ|的长，再利用相似求出|CP|的长，设P（p，0），利用勾股定理求出p的值，即可确定出直线CP方程．

解答 解：如图所示，|AC|=r=1，|AQ|=$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△ACQ中，根据勾股定理得：|CQ|=$\frac{1}{3}$，
∵△ACQ∽△PCA，
∴$\frac{\frac{1}{3}}{1}$=$\frac{1}{|CP|}$，即|CP|=3，
设P（p，0）（p＞0），即|OP|=p，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：9=4+p²，
解得：p=$\sqrt{5}$，即P（$\sqrt{5}$，0），
则直线CP解析式为y=$\frac{2-0}{0-\sqrt{5}}$（x-$\sqrt{5}$），即2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0，
故答案为：2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：切线长定理，切线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及直线的两点式方程，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．