Question

3．函数f_M（x）的定义域为R，且定义如下：f_M（x）=$\left\{\begin{array}{l}2，x∈M\\ 0，x∉M\end{array}$，其中M是实数集R的非空真子集，在实数集R上有两个非空真子集A，B满足A∩B=φ，则函数F（x）=$\frac{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}{{{f_{A∪B}}（x）+2}}$的值域为{1}．

Answer 1

分析 对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．

解答 解：当x∈C_R（A∪B）时，f_（A∪B）（x）=0，f_A（x）=0，f_B（x）=0，
∴F（x）=$\frac{0+0+2}{0+2}$=1
同理得：当x∈B时，F（x）=1；
当x∈A时，F（x）=1；
∴函数F（x）=$\frac{{{f_A}（x）+{f_B}（x）+2}}{{{f_{A∪B}}（x）+2}}$的值域为{1}．
故答案为{1}

点评 本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的函数f_M（x）的正确理解，属于创新型题目．