Question

16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为些作了四次试验，得到的数据如下表所示：

零件的个数x（个）	2	3	4	5
加工的时间y（小时）	2.5	3	4	4.5

（Ⅰ）求出y关于x的线性回归方程$\widehaty$=$\widehatbx$+$\widehata$，并在坐标系中画出回归直线；
（Ⅱ）试预测加工10个零件需要多少时间？b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_1}-\overline x}）（{{y_1}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_1}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_1}{y_1}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_1^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb\overline x$，$\overline{x}$=$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_1}$，$\overline y$=$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_1}$．

Answer 1

分析 （1）由表中数据求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$，进而求出b，a，由此能出y关于x的线性回归方程$\widehaty$=$\widehatbx$+$\widehata$，并在坐标系中画出回归直线．
（2）将x=10代入回归直线方程，能预测加工10个零件需要的时间．

解答 解：（1）由表中数据解得：
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（2+3+4+5）=3.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（2.5+3+5+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}{x}_{i}{y}_{i}$=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.4，
$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²=54，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=0.7，$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb\overline x$=1.05，
∴y=0.7x+1.05，
在坐标系中画出回归直线如右图：
（2）将x=10代入回归直线方程主y=0.7×10+1.05=8.05
∴预测加工10个零件需8.05小时．

点评 本题考查回归方程的求法及应用，考查回归直线的画法，是中档题，解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用．