Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=1，O₁：（x-4）²+y²=4，动点P在直线x+$\sqrt{3}$y+b=0上，过P分别作圆O，O₁的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是（-4，$\frac{20}{3}$）．

Answer 1

分析 求出P的轨迹方程，由动点P在直线x+$\sqrt{3}$y+b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
转化为直线与圆x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，即可求出实数b的取值范围．

解答 解：由题意O（0，0），O₁（4，0），设P（x，y），则
∵PB=2PA，
∴（x-4）²+y²=4（x²+y²），
∴x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0，
其圆心坐标为（-$\frac{4}{3}$，0），半径为$\frac{8}{3}$；
∵动点P在直线x+$\sqrt{3}$y+b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，
∴该直线与圆x²+y²+$\frac{8}{3}$x-$\frac{16}{3}$=0相交，
∴圆心到直线的距离满足d=$\frac{|-\frac{4}{3}+0+b|}{\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}}$＜$\frac{8}{3}$，
化简得|b-$\frac{4}{3}$|＜$\frac{16}{3}$，
解得-4＜b＜$\frac{20}{3}$，
∴实数b的取值范围是（-4，$\frac{20}{3}$）．
故答案为：（-4，$\frac{20}{3}$）．

点评 本题考查求点的轨迹方程以及直线与圆的位置关系的应用问题，正确转化是解题的关键，是综合性题目．