【题目】在平面直角坐标平面中, 的两个顶点为
,平面内两点
、
同时满足:①
;②
;③
.
(1)求顶点的轨迹
的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
,直线
与点
的轨迹
相交弦分别为
,设弦
的中点分别为
.
①求四边形的面积
的最小值;
②试问:直线是否恒过一个定点?若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
的最小值的
,②直线
恒过定点
.
【解析】试题分析:(1)由可得
为
的重心,设
,则
,再由
,可得
为
的外心,
在
轴上,再由
∥
,可得
,结合
即可求得顶点
的轨迹
的方程;(2)
恰为
的右焦点.当直线
,
的斜率存在且不为0时,设直线
的方程为
.联立直线方程与椭圆方程,化为关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系求得
的纵坐标得到和与积.①根据焦半径公式得
、
,代入四边形面积公式,再由基本不等式求得四边形
面积
的最小值;②根据中点坐标公式得
的坐标,得到直线
的方程,化简整理令
解得
值,可得直线
恒过定点;当直线
,
有一条直线的斜率不存在时,另一条直线的斜率为0,直线
即为
轴,过点(
.
试题解析:(1)∵
∴由①知
∴为
的重心
设,则
,由②知
是
的外心
∴在
轴上由③知
,由
,得
,化简整理得:
.
(2)解: 恰为
的右焦点,
①当直线的斜率存且不为0时,设直线
的方程为
,
由,
设则
,
①根据焦半径公式得,
又,
所以,同理
,
则,
当,即
时取等号.
②根据中点坐标公式得,同理可求得
,
则直线的斜率为
,
∴直线的方程为
,
整理化简得,
令,解得
∴直线恒过定点
,
②当直线有一条直线斜率不存在时,另一条斜率一定为0,直线
即为
轴,过点
,
综上, 的最小值的
,直线
恒过定点
.
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【题目】已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn , 且满足a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求通项an;
(2)若数列{bn}满足bn= ,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在一条生产线上按同样的方式每隔30分钟取一件产品,共取了n件,测得其产品尺寸后,画得其频率分布直方图如图所示,已知尺寸在[15,45)内的频数为46.
(1)该抽样方法是什么方法?
(2)求n的值;
(3)求尺寸在[20,25)内的产品的件数.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线
上的点
对应的参数
,射线
与曲线
交于点
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点,
在曲线
上,求
的值.
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【题目】某市出租车的计价标准是:4km以内(含4km)10元,超过4km且不超过18km的部分1.2元/km,超过18km的部分1.8元/km,不计等待时间的费用.
(1)如果某人乘车行驶了10km,他要付多少车费?
(2)试建立车费y(元)与行车里程x(km)的函数关系式.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(
),
为
上一点,以
为边作等边三角形
,且
、
、
三点按逆时针方向排列.
(Ⅰ)当点在
上运动时,求点
运动轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)若曲线:
,经过伸缩变换
得到曲线
,试判断点
的轨迹与曲线
是否有交点,如果有,请求出交点的直角坐标,没有则说明理由.
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【题目】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”,如图(1)(2),刘徽未能求得牟合方盖的体积,直言“欲陋形措意,惧失正理”,不得不说“敢不阙疑,以俟能言者”.约200年后,祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同,则积不容异”,后世称为祖暅原理,即:两等高立体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立体体积相等.如图(3)(4),祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”,计算出牟合方盖的体积,据此可知,牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为( )
A. B.
C.
D.
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